양자역학 (量子力學 quantum mechani...)
분자·원자·소립자 등의 미시적 계의 역학을 다루는 이론체계. .
설명
분자·원자·소립자 등의 미시적 계(系)의 역학을 다루는 이론체계. 원자·분자 및 빛 등의 현상을 이해하기 위해 I. 뉴턴의 운동법칙이나 J.C. 맥스웰의 전자기법칙 등의 고전물리학(고전론)에 대체되는 새로운 운동법칙이 발견되어 하나의 역학체계가 형성되었는데 이것이 양자역학이다. 양자역학에서는 고전물리학에 비해서 운동상태나 물리량의 취급방법이 전혀 다르다. 양자역학에서의 운동상태를 양자적 상태라고 한다. 그 결과 우리가 일상적 경험에서 의심할 바가 없다고 생각해 왔던 사고방식의 대부분이 그대로는 원자 등의 영역에서는 성립되지 않는다는 것이 밝혀졌다. 미시적(microscopic)이라는 용어는 일반적으로 고전역학 또는 양자역학에 따라 운동하는 입자집단의 상태를 하나하나의 개별적인 입자의 상태까지 고려하여 논하는 경우에 사용된다. 이 경우 원자·분자·소립자 등의 현상이 양자역학적으로 진행된다는 것을 강조하여 쓰이는 경우가 많다. 미시적에 대하여 거시적(macroscopic)이라는 용어는 개별적인 입자의 운동을 고려하지 않고 이들 방대한 수의 입자집단 전체의 물리적 특징을 논할 때 사용된다. 이 경우 입자집단의 운동은 고전적인 것이 된다. 또한 양자역학적 운동을 강조하여 미시적이라는 용어를 사용하는 경우가 많다. 이런 이유 때문에 거시적이라는 용어는 고전론적이라는 뜻을 지니고 있다.
양자역학의 탄생
양자역학적 법칙의 인식은 1900년 M. 플랑크의 열복사공식에서 비롯된다. 이 법칙의 의미를 A. 아인슈타인이 분석하여 이 공식이 빛에 파동성과 입자성이라는 2가지 성질을 동시에 부여하는 내용임을 제시하고, 동시에 빛의 에너지양자, 즉 광양자를 제창하였다. 1913년 N.H.D. 보어는 고전역학을 이용하여 얻어지는 수소원자의 전자궤도 중에서 실제로 궤도로서 가능한 것을 선택하는 조건, 즉 양자조건과 광방출의 새로운 메커니즘을 도입하였다. W.K. 하이젠베르크는 보어의 이론을 출발점으로 하여 1925년 이것을 새로운 역학으로 바꾸었는데 여기서 양자역학이 탄생하였다. 이것과는 별도로 1923년 L.V. 드 브로이의 전자도 파동성을 가져야 한다는 것을 예견하고 이것을 일반화하여 1926년 E. 슈뢰딩거가 임의의 퍼텐셜 작용을 받은 입자의 파동방정식을 발견하였다. 이윽고 이 방정식이 하이젠베르크가 제기한 운동방정식과 동등하다는 것이 증명되어 양자역학의 기초가 확립되었다. 그 뒤 오늘날까지 원자의 안정성, 원자적인 견해에 바탕을 둔 물질의 성질, 원자핵, 소립자 및 우주선(宇宙線)의 현상이 양자역학에 기초를 두고 연구되어 왔다. 한편, 전자기장이나 중간자장 등 장(場)을 대상으로 하는 양자론, 즉 장의 양자론이 전개되었는데, 빛의 방출·흡수 등 장에 관한 여러 가지 방정식의 해(解)에 발산이 생기는 등의 곤란한 문제가 나타났으며, 이것 때문에 양자역학을 넘어서는 다음 이론의 시도도 때때로 제기되었다. 그러나 양자역학의 적용 한계를 단적으로 나타내는 사실은 현재까지도 발견되지 않았다.
양자역학의 골격
수소원자내 전자(이하 전자라고 한다)는 중심의 양성자(陽性子)로부터 －/(는 단위전하, 는 전자와 양성자 사이의 거리)의 인력작용을 받으며, 그 결과 －/의 퍼텐셜에너지(위치에너지)를 가지게 된다. 운동에너지는 /2=(＋＋)/2(은 전자의 질량, ·· 등은 ·· 방향의 전자운동량)이므로 그 전(全) 에너지는 /2－/이 된다. 양자역학에서는 모든 물리량에 각각 연산자가 대응하고 있다. 방향 운동량의 연산자는 －(∂/∂) (는 플랑크상수 의 1/2π)이며 그 결과 전자의 에너지의 연산자 는,
이 된다. 어떤 정해진 에너지를 지닌 전자의 양자적 상태는 (, , )=(, , )라는 편미분방정식의 해로 나타내진다. 이것이 슈뢰딩거의 파동방정식이다. 함수 를 상태함수 또는 파동함수라고 한다. 이 방정식은 전자의 에너지가 일정하다는 고전역학의 관계,
와 대응하고 있다. 이 편미분방정식을 푸는 경우, 상태함수에 여러 가지 조건을 부여한다. 이들 조건은 전자가 멀리까지 퍼져 있지 않다는 물리적 조건에 대응하는 것이며, 그 결과 슈뢰딩거의 파동방정식의 해는 일의적(一義的)으로 결정되지만, 해가 존재하는 것은 어떤 특정한 값인 경우뿐이다. 수학적으로 말하면 상술한 슈뢰딩거의 파동방정식은 에너지연산자 의 고유방정식이며, 함수 는 고유함수, 는 고유값이다. 로 나타내진 상태는 의 고유상태이다. 〔그림 1〕은 이렇게 구해진 수소원자의 에너지값을 나타낸다. 마찬가지로 양자역학의 각운동량(角運動量)은 고전역학의 각운동량 =－ 등의 운동량 등을 미분연산자 －(∂/∂) 등으로 치환함으로써 얻어진다〔표〕. 이리하여 얻어진 연산자 등의 제곱의합 은 각운동량이라는 물리량의 크기를 제곱한 연산자이다. 따라서 수소원자의 경우뿐 아니라 각운동량의 크기 와 그 상태함수 는 고유값방정식 =로 결정된다. 는 특정각운동량의 크기 를 가진 양자적 상태를 나타낸다. 입자가 항상 정해진 각운동량을 지니고 있다고는 할 수 없다. 수소원자의 경우, 전자는 정해진 에너지를 지닌 동시에 정해진 각운동량을 지니고 있다. 이것은 에너지연산자 와 각운동량의 크기의 제곱 연산자 사이에 교환가능이라는 특별한 관계 =가 성립하기 때문이며 이 관계를 가환(可換)이라고 한다. 2개의 연산자 ·가 공통의 고유함수 , 즉 =, =를 가지기 위한 필요충분조건은 와 가 가환이라는 것이다. 수소원자내 전자는 정해진 운동량을 지닌 상태, 즉 운동량의 고유상태가 아니다. 실제로 전자운동량의 연산자 －(∂/∂) 등은 앞서 서술한 에너지연산자 와 교환이 가능하지 않다. 그러면 이 경우 전자의 운동량은 어떻게 되어 있는 것일까. 운동량의 고유함수는 －(∂/∂)=p´등을 만족시킨다. 여기서 ′은 방향 운동량의 고유값이다. 이 미분방정식은 쉽게 풀 수 있으며 고유함수는 파장 2π/′의 평면파 를 나타내는 함수가 된다. 그러면 에너지 를 가진 전자의 상태함수 를, 운동량의 고유함수를 중첩시킴으로써 나타낼 수 있다. 중첩의 계수 즉 중첩의 정도를 ()로 하면
가 된다. 여기서는 적분 대신 ∑로 나타낸다. 이때 전자는 운동량 를 |()|²의 확률로 가지고 있다. 마찬가지로 상태함수 (, , )는 전자가 점 (, , )에 있는 상태함수, 즉 위치의 고유상태를 중첩시킨 계수라고도 생각할 수 있어 전자는 점 (, , )에 |(, y )|의 확률로 존재하게 된다.
양자역학의 구성
이상의 예에서 볼 수 있었던 양자역학의 원리를 열거해 보면 다음과 같다. ① 상태함수 , 를 중첩시킨 ＝＋도 역시 양자적 상태를 나타내는 상태함수이다. ② 양자적 상태 는 의 물리적 성질을
의 비율로 가지고 있다. ③ 물리량은 연산자의 형식을 취한다. 이 물리량을 업저버블(가관측량)이라고 한다. 업저버블은 고전물리학의 물리량의 운동량 등을 －(∂/∂) 등으로 치환함으로써 얻어진다. 물리량이 취하는 값은 업저버블의 고유값뿐이다. ④ 양자적 상태는 (∂/∂)=에 따라 시간적으로 변화한다. 여기서 는 에너지연산자이고 이 방정식도 슈뢰딩거의 파동방정식이다. 운동량 가 미분연산자라면 위치 와의 사이에 교환관계 －＝, 즉 ()－()=()라는 관계가 성립된다. 위치와 운동량은 특별한 관계에 있는 한 쌍의 물리량이며 이 물리량을 사용해서 뉴턴의 운동법칙을 바꾸어 쓰면 질량, 즉 입자의 속성이 나타나지 않는다. 위치 와 운동량 대신 각각 －와 를 사용해도 마찬가지로 말할 수 있으므로 이 둘의 관계는 켤레라는 것을 알 수 있다. 이 관계를 정준(正準)켤레라고 한다. 일반적으로 정준켤레의 관계에 있는 물리량의 업저버블 , 사이에는 －=의 관계가 성립된다. 상태함수 대신 연산자가 시간적으로 변한다고 생각하고 슈뢰딩거의 파동방정식을 바꾸어 쓰면 똑같은 확률분포를 얻을 수 있다. 이때 연산자를 행렬로 표현하는 경우가 많다. 이리하여 얻어진 역학의 형식을 행렬역학이라 한다. 하이젠베르크가 1925년 발견한 것은 정준켤레인 물리량 사이의 교환관계의 행렬표현이다. 슈뢰딩거의 파동방정식을 수학적으로 푸는 일이 곤란하기 때문에 변분법(變分法), 하트리-폭의 방법, WKB법, 섭동론(攝動論) 등 여러 가지 근사법이 이용되고 있다. WKB법은 상태함수를 플랑크상수의 멱전개(冪展開)로 구하는 방법을 가리킨다.
양자역학운동의 특징
〔그림 2〕는 전자가 수소원자내에서 취하는 위치의 확률을 나타낸다. 그림은 전자가 순간 순간 특정한 위치에서 어떤 유한시간에 취하는 전자 위치의 전부를 그림으로 나타낸 것, 즉 고전통계학적인 분포를 나타낸 것이 아니다. 이 경우 전자는 동시에 각 위치에 각각 다른 확률로 존재하고 있다. 운동량에 대해서도 마찬가지이다〔그림 3〕. 위치와 운동량의 업저버블은 서로 교환이 불가능하다. 따라서 어떤 특정한 위치를 가지고 동시에 어떤 특정한 운동량을 가진 양자적 상태는 존재하지 않는다(불확정성원리). 이것은 고전역학의 입자상태가 위치와 운동량을 동시에 부여함으로써 결정되는 것과 극히 대조적이다. 일반적으로 입자는 어떤 범위 의 위치에 동시에 있으며 또한 어떤 범위 의 운동량의 값을 동시에 취한다. 이 경우 와 와의 사이에는 불확정성관계 /2가 성립한다. 위치의 고유상태에서는 위치가 정해져 있으므로 는 0이다. 따라서 는 ∞가 되고 운동량은 불확정이 된다. 이 불확정성관계는 정준켤레인 두 물리량 사이에 언제나 성립된다. 이 불확정성관계를 입자의 실제 위치 측정에 입각하여 나타낸 것이 하이젠베르크의 선현미경이다〔그림 4〕. 또한 〔그림 2〕의 수소원자상태의 위치와〔그림 3〕의 운동량분포를 하나로 정리하면 분포가 유한한 범위를 가지고 있음을 알 수 있다. 이것은 불확정성원리를 나타낸다. 일반적으로 대상의 측정관측데이터에서 대상의 상태를 찾아내는 과정의 이론을 관측이론이라고 한다. 양자적 상태의 경우 측정관측장치가 고전물리학의 법칙에 따라 대상이 양자적 상태에 있기 때문에 이 대응에 여러 가지 문제가 생긴다. 이 문제에 대해서 아인슈타인과 보어 사이에 물리적 실재에 관한 논쟁이 벌어졌다. 슈뢰딩거의 고양이는 이런 종류의 문제에 대한 한 보기이며〔그림 5〕, 주관의 객관에 대한 작용으로서 철학논쟁의 소재가 되기도 하였다. 양자적 상태에서는 상태함수의 중첩이 가능하며, 고전적 상태는 정준켤레의 물리량 값의 조(組)로 표현할 수 있다. 따라서 측정관측과정의 어느 단계에서 어떤 조건하에서 이 이행이 이루어졌는가를 양자역학적 과정의 결과로서 나타내는 것이 관측이론의 내용인데, 현재 아직 충분한 해결을 보지 못하고 있다.
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